أمثلة لحساب ناتج الجمل المنطقية
فيما يلي مجموعة من الأمثلة المعالجة التي توضح كيفية الحصول على ناتج الجمل المنطقية:
أمثلة على الجمل باستخدام البوابات الأساسية
تعتبر الخطوة الأولى في حل مسائل البوابات المنطقية هي فهمها والتعرف على مبادئها الأساسية. تشمل البوابات المنطقية الرئيسية: (AND، OR، NOT). تقوم بوابة (AND) بإنتاج ناتج 1 فقط عندما تكون جميع مدخلاتها 1. بينما بوابة (OR) تنتج ناتج 0 فقط في حالة كون جميع مدخلاتها 0. كذلك تعمل بوابة (NOT) على عكس المدخل، حيث تنتج 0 إذا كانت المدخل 1، والعكس صحيح. وفيما يأتي بعض الأمثلة المعالجة على الجمل المنطقية:
لنفرض أن: a=1، b=0، c=1، d=0. احسب ناتج الجمل المنطقية التالية:
- مثال 1: a AND b
- الحل: نظرًا لأن أحد المدخلات في بوابة AND هو الرقم 0، سيكون الناتج 0 أيضًا.
- مثال 2: a AND c OR d.
- الحل:
- نبدأ بتحديد الأولويات في تنفيذ البوابات، حيث تكون الأولوية للبوابة AND كما يلي: a AND c= 1 AND 1=1
- ومن ثم يتم تمرير الناتج إلى البوابة التالية وهي OR: d OR 1 = 0 OR 1= 1.
- مثال 3: NOT b OR (c AND d)
- الحل: نظرًا لأن الأقواس تملك الأولوية الأولى في أي عملية حسابية أو منطقية، نبدأ بإجراء الناتج داخل الأقواس كالآتي:
- c AND d
- 0 AND 1
- 0
- تكون الأولوية بعد ذلك للبوابة المنطقية NOT
- NOT b
- NOT 0
- 1
- مما يجعل الجملة النهائية بعد هذه العمليات كالتالي:
- 1 OR 0
- 1
- الحل: نظرًا لأن الأقواس تملك الأولوية الأولى في أي عملية حسابية أو منطقية، نبدأ بإجراء الناتج داخل الأقواس كالآتي:
أمثلة على الجمل باستخدام البوابات المشتقة
تنقسم البوابات المنطقية المشتقة إلى أربعة أنواع، وهي: (NAND، NOR، XOR، XNOR) وتؤدي كل منها وظيفة خاصة. تعبر بوابة (NAND) عن (NOT AND) وتعمل عكس بوابة (AND)، بينما تقوم بوابة (NOR) بعمل (NOT OR). تعمل بوابة (XOR) على إخراج 0 في حال كانت المدخلات متطابقة و1 إذا كانت المدخلات مختلفة، وبوابة (XNOR) تعطي 1 فقط إذا كانت المدخلات متطابقة. وفيما يلي أمثلة على الجمل باستخدام البوابات المشتقة:
افترض أن a=1، b=0، c=1، d=0، احسب ناتج الجمل المنطقية التالية:
- مثال 1: a NAND b
- الحل: بالرجوع إلى جدول الحقيقة أو باستخدام تحليل البوابة المنطقية إلى NOT AND نجد الناتج كالتالي:
- a NOT AND b
- 1 NOT AND 0
- NOT 0
- 1
- الحل: بالرجوع إلى جدول الحقيقة أو باستخدام تحليل البوابة المنطقية إلى NOT AND نجد الناتج كالتالي:
- مثال 2: d XOR a NOR c
- الحل: نبدأ بإيجاد الناتج من اليسار إلى اليمين
- d XOR a
- 0 XOR 1
- 1
- لتصبح الجملة كما يلي:
- 1 NOR c
- 1 NOR 1
- 0
- الحل: نبدأ بإيجاد الناتج من اليسار إلى اليمين
- مثال 3: a XNOR c NAND (b NOR c XOR d)
- الحل: نبدأ بتحليل وإيجاد ناتج ما بين الأقواس من اليسار إلى اليمين كالآتي:
- 0 NOR 1 XOR 0
- 0 XOR 0
- 0
- لنبدأ بعد ذلك بتحليل ناتج الجملة مع ناتج القوس بالتسلسل من اليسار إلى اليمين لتصبح الجملة كما يلي:
- a XNOR c NAND 0
- 0 1 XNOR 1 NAND
- 1 NAND 0
- 1
- الحل: نبدأ بتحليل وإيجاد ناتج ما بين الأقواس من اليسار إلى اليمين كالآتي:
أمثلة على الجمل باستخدام البوابات الأساسية والمشتقة
يمكن أن تتضمن الجمل المنطقية كلا من البوابات المنطقية الأساسية والمشتقة، وفيما يلي أمثلة توضيحية لهذه الجمل:
افترض أن a=1، b=0، c=1، d=0، احسب ناتج الجمل المنطقية التالية:
- مثال 1: a OR b NOR c
- الحل: نبدأ بتحليل الجملة من اليسار إلى اليمين، كالتالي:
- a OR b
- الناتج هو 1
- نكتب الناتج إلى جانب بقية الجملة لتصبح الجملة كما يلي:
- 1 NOR c
- الناتج هو 0
- الحل: نبدأ بتحليل الجملة من اليسار إلى اليمين، كالتالي:
- مثال 2: a AND d XOR (c XNOR b)
- الحل: نبدأ بتحليل ما بين الأقواس
- c XNOR b
- 1 XNOR 0
- الناتج هو 0
- نكتب الجملة مع الناتج كما يلي:
- a AND d XOR 0
- 1 AND 0 XOR 0
- الناتج هو 0
- الحل: نبدأ بتحليل ما بين الأقواس
- مثال 3: a NOR NOT (d NAND b OR a XOR b AND c XNOR a)
- الحل: نبدأ بالأقواس حيث تعطي لها الأولوية ومن اليسار إلى اليمين كما يلي:
- d NAND b OR a XOR b AND c XNOR a
- d NAND b
- 0 NAND 0
- الناتج هو 1
- 1 OR a XOR b AND c XNOR a
- 1 OR a
- 1 OR 1
- الناتج هو 1
- 1 XOR b AND c XNOR a
- 1 XOR b
- 1 XOR 0
- الناتج هو 1
- 1 AND c XNOR a
- 1 AND c
- 1 AND 1
- الناتج هو 1
- 1 XNOR a
- 1 XNOR 1
- الناتج هو 1
- الخطوة التالية هي كتابة ناتج الأقواس وهو 1 إلى جانب الجملة المنطقية الكلية كما يلي:
- a NOR NOT 1
- 1 NOR NOT 1
- 1 NOR 0
- الناتج الكلي هو 0
- الحل: نبدأ بالأقواس حيث تعطي لها الأولوية ومن اليسار إلى اليمين كما يلي:
أمثلة لحل الجمل المنطقية باستخدام الآلة الحاسبة
تقوم الآلة الحاسبة المخصصة لحل الجمل المنطقية بإجراء اختبار للناتج وإظهار الناتج كإما 0 أو 1. وفيما يلي بيان لحلول الآلة الحاسبة للجمل المنطقية المذكورة سابقًا ومقارنة النتائج اليدوية بنتائج الآلة الحاسبة:
افترض أن a=1، b=0، c=1، d=0، احسب ناتج الجمل المنطقية التالية:
- مثال 1: a AND b
- الناتج 0
- مثال 2: a AND c OR d.
- نقوم بإدخال البوابة المنطقية والقيم المدخلة إليها
- الناتج هو 1 كما ظهر يدويًا.
- مثال 3: NOT b OR (c AND d)
-
- نقوم بإدخال ما بين الأقواس ومقارنته مع باقي الجملة باستخدام الآلة الحاسبة
- الناتج هو 1 كما ظهر يدويًا.
- مثال 4: a NAND b
- الناتج 1 كما ظهر يدويًا.
- مثال 5: d XOR a NOR c
- الناتج 0 كما ظهر يدويًا.
- مثال 6: a XNOR c NAND (b NOR c XOR d)
- من خلال تنفيذ العمليات وفقًا للأولويات يظهر الناتج 1 كما تم حله يدويًا.
- مثال 7: a OR b NOR c
- الناتج النهائي 0 كما ظهر يدويًا.
- مثال 8: a AND d XOR (c XNOR b)
- الناتج النهائي 0 كما ظهر يدويًا.
- مثال 9: a NOR NOT (d NAND b OR a XOR b AND c XNOR a)
- الناتج النهائي هو 0 كما تم حله يدويًا.
- مثال 1: a AND NOT c
- مثال 2: a OR b AND (a NOR b)
- مثال 3: (a NAND b AND (c OR NOT a))
- مثال 1: a NOT OR b NOT AND c
- الحل: a NOR b NAND c
- مثال 2: a NAND c NOT OR (b XOR d)
- الحل: a NAND c NOR (b XOR d)
- مثال 3: d XNOR c AND NOT (a NOR b)
- الحل: d XNOR c NAND (a NOR b)
- مثال 1: ثلاثة مصابيح، عندما ينطفئ أحدها، تنطفئ باقي المصابيح. اكتب العبارة المنطقية التي تعبر عن حالة المصابيح.
- الحل: إذا انطفأت جميع المصابيح، فهذا يعني أن المصابيح موصولة على التوالي. لنفترض أن المصابيح تمثل بـ a، b، c تباعًا، فإن العبارة المنطقية تكون (a AND b AND c).
- مثال 2: مفتاح كهربائي a موصول على التوالي مع المفتاح b وموصل على التوازي مع المفتاح c. اكتب العبارة المنطقية التي تعبر عن حالة المفاتيح.
- الحل: العبارة المنطقية هي (a AND b OR c).
- مثال 3: مكثف كهربائي a موصول بالمقاومة c على التوازي، والمقاومة c موصولة على التوازي مع مصدر الطاقة b. اكتب العبارة المنطقية التي تعبر عن حالة الدائرة الكهربائية.
- الحل: العبارة المنطقية هي (a OR c OR b).
أمثلة لجدول الحقيقة
يتم استخدام جدول الحقيقة لعرض جميع الاحتمالات التي يمكن أن تحتويها قيم المتغيرات المدخلة إلى البوابة المنطقية. وفيما يلي بعض الأمثلة على جمل منطقية وتمثيلها بجدول الحقيقة الخاص بجميع احتمالات مدخلاتها:
| a AND NOT c | c | a |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| a OR b AND (a NOR b) | c | b | a |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| (a NAND b AND (c OR NOT a) | c | b | a |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
أمثلة لتبسيط الجمل المنطقية
يمكن تبسيط مسائل البوابات المنطقية المعقدة وذلك من خلال تقليلها وإيجاد ناتجها كما تم حلها سابقًا. هنا بعض الأمثلة لتبسيط الجمل المنطقية:
أمثلة تحويل الجمل الكلامية إلى جمل منطقية
تستخدم البوابات المنطقية بشكل كبير في تنفيذ المهام داخل الدوائر الكهربائية. وفيما يلي أمثلة على كيفية تأدية مهام معينة عن طريق تنفيذ جمل منطقية:
تقوم البوابات المنطقية بتنفيذ مهام داخل الدوائر الكهربائية عن طريق استقبال مدخلات محددة وإجراء عمليات عليها لتقديم المخرجات المطلوبة. تشير كل بوابة منطقية إلى مدخلين ومخرج واحد. لفهم الجمل المنطقية ومهامها، يعد جدول الحقيقة أداة مفيدة تساعد المصمم في توقع النتائج قبل البدء في تنفيذ التصميم العملي، مما يجعل فهم البوابات المنطقية أمرًا ذا أهمية كبيرة، خاصةً في ظل المتطلبات المتزايدة للاستخدامات الإلكترونية.