القوانين الأساسية في الرياضيات

قوانين أساسية لحساب المحيط والمساحة والحجم

فيما يلي أبرز القوانين المستخدمة لحساب المحيط والمساحة والحجم:

قوانين المحيط

يمكننا حساب محيط الأشكال الهندسية الثنائية الأبعاد من خلال القوانين التالية:

محيط المربع = 4 × طول الضلع.
محيط المستطيل = 2 × (طول + عرض المستطيل).
محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه.
محيط الدائرة = 2 × π × نصف قطر الدائرة.

قوانين المساحة

لإيجاد مساحة الأشكال الهندسية الثنائية الأبعاد، يمكن استخدام القوانين التالية:

مساحة المربع = مربع طول الضلع.
مساحة المستطيل = الطول × العرض.
مساحة المثلث = 1/2 × طول القاعدة × الارتفاع.
مساحة الدائرة = π × (نصف القطر)².
مساحة شبه المنحرف = ((طول القاعدة العليا + طول القاعدة السفلية) × الارتفاع) / 2.

بالنسبة للأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد، يمكننا استخدام القوانين التالية لحساب المساحة:

مساحة سطح المكعب = 6 × (طول الضلع)².
مساحة سطح الأسطوانة = 2 × π × نصف القطر × ارتفاع الأسطوانة.
مساحة سطح المخروط = π × نصف القطر × الارتفاع الجانبي.
مساحة سطح الكرة = 4 × π × (نصف القطر)².

قوانين الحجم

لإيجاد حجم الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد، يمكن استخدام القوانين التالية:

حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع.
حجم المخروط = (مساحة القاعدة × الارتفاع) / 3.
حجم الكرة = (4 × π × (نصف القطر)³) / 3.
حجم المكعب = (طول الضلع)³.
حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع.

قوانين علم المثلثات الأساسية

من أبرز القوانين في علم المثلثات:
- جيب الزاوية = جا (الزاوية) = الضلع المقابل للزاوية / الوتر.
- جيب تمام الزاوية = جتا (الزاوية) = الضلع المجاور للزاوية / الوتر.
- ظل الزاوية = ظا (الزاوية) = الضلع المقابل للزاوية / الضلع المجاور للزاوية.

من أهم المتطابقات المثلثية (حيث تمثل س قياس الزاوية):
- جا²(س) + جتا²(س) = 1.
- ظا(س) = جا(س) / جتا(س).
- 1 + ظا(س)² = 1 / جتا²(س).

قانون جيب التمام (قانون الجتا): إذا كان لدينا مثلث بأطوال أضلاعه أ، ب، جـ، فإن طول الضلع أ يُعطى من خلال:
- أ² = ب² + جـ² – 2 × ب × جـ × جتا أَ، حيث أَ هي الزاوية المقابلة للضلع أ.

قانون الجيب: في مثلث أطوال أضلاعه أ، ب، جـ، فإن:

جا(أَ) / أ = جا(بَ) / ب = جا(جـَ) / جـ، حيث:
- أَ: الزاوية المقابلة للضلع أ.
- بَ: الزاوية المقابلة للضلع ب.
- جـَ: الزاوية المقابلة للضلع جـ.

قوانين ضعف الزاوية، مع اعتبار س قياس الزاوية:
- جا(2س) = 2 × جا(س) × جتا(س).
- جتا(2س) = جتا²(س) – جا²(س).
- ظا(2س) = (2 × ظا(س)) / (1 – ظا²(س)).

أهم قوانين اللوغاريتمات

يوجد مجموعة من القوانين المتعلقة باللوغاريتم، من أبرزها:

إذا كان أس = م؛ فإن لوأ م = س.
لوأ 1 = 0.
لوأ أ = 1.
لوأ (م × ن) = لوأ م + لوأ ن.
لوأ (م / ن) = لوأ م – لوأ ن.
لوأ م ن = ن × لوأ م.
لوأ م = لوب م × لوأ ب.
لوب أ × لوأ ب = 1.

قوانين الجذور

هناك مجموعة من القوانين المتعلقة بالجذور، منها:

(أ × ب)√ن = أ√ن × ب√ن، حيث دليل الجذر هو ن.
أ√ن × ب√م = (أ م × ب ن)√مـن.
(أ / ب)√ن = أ√ن / ب√ن، بشرط أن لا تكون ب تساوي صفر.
(أ√ن) ن = أ.
أم√ن = أ (م / ن).
(أ√ن) م = أم√ن.

قوانين الأسس

إليك مجموعة من القوانين المتعلقة بالأسس، وهي:

في حالة الضرب:
- أ م × أ ن = أ (م + ن).
- أ م × ب م = (أ × ب) م.
في حالة القسمة:
- أم ÷ أن = أ (م – ن).
- أ م ÷ ب م = (أ ÷ ب) م.
الأس المرفوع لأس آخر:
- (أ م) ب = أ (م × ب).
الأس المرفوع لقوة صفر:
- أ 0 = 1.
الأس السالب:
- أ -ن = (1/أ) ن.
الأس المرفوع لكسر:
- أ (ب / جـ) = أب√جـ.

قوانين الجمع الأساسية

تتعلق القوانين التالية بعملية الجمع، حيث أ، ب، جـ تمثل أعدادًا حقيقية:

العنصر المحايد لعملية الجمع: يساوي صفر، مما يعني أن إضافة أي عدد للعدد صفر تعطي نفس العدد؛ أي أ + 0 = أ.
النظير أو المعكوس الجمعي: هو العدد الذي يؤدي جمعه مع عدد إلى الناتج صفر؛ أي النظير الجمعي للعدد أ هو -أ بحيث (أ) + (-أ) = 0.
الخاصة التجميعية: تعني أن (أ + ب) + جـ تساوي أ + (ب + جـ)، مما يعني أن تغيير ترتيب الأقواس لا يؤثر على نتيجة الجمع.
الخاصة التباديلية: تعني أن أ + ب = ب + أ، مما يعني أن تغيير ترتيب الأعداد لا يؤثر على نتيجة الجمع.

ملاحظة: عملية الطرح (أ – ب) تعني: أ + (-ب).

قوانين الضرب الأساسية

فيما يلي القوانين الأساسية المتعلقة بعملية الضرب، حيث أ، ب، جـ تمثل أعدادًا حقيقية:

العنصر المحايد لعملية الضرب: يساوي 1، مما يعني أن ضرب أي عدد في 1 يعطي نفس العدد؛ أي أ × 1 = أ.
النظير أو المعكوس الضربي: يُمثل بمقلوب العدد، هذا يعني أن العكس الضربي للعدد أ هو 1/أ، بشرط أن لا تكون أ تساوي صفر؛ لأن النتيجة تصبح غير معرفة، وحاصل ضرب العدد بمعكوسه يعطي دائمًا القيمة 1؛ أي أ × (1/أ) = 1.
الضرب في الصفر: يعني أن ضرب أي عدد في 0 يعطي صفر؛ أي أ × 0 = 0.
الخاصة التجميعية: تعني أن (أ × ب) × جـ تساوي أ × (ب × جـ)، مما يعني أن تغيير ترتيب الأقواس لا يؤثر على نتيجة عملية الضرب.
الخاصة التباديلية: تعني أن أ × ب = ب × أ، مما يعني أن تغيير ترتيب الأعداد لا يؤثر على نتيجة عملية الضرب.
قانون التوزيع: ينص على أن أ × (ب + جـ) = أ × ب + أ × جـ.

ملاحظة: يمكن التعبير عن عملية القسمة من خلال الضرب كما يلي: أ / ب = أ × (1 / ب).

قوانين الكسور الأساسية

فيما يلي القوانين المتعلقة بعمليات جمع، طرح، ضرب، وقسمة الكسور:

جمع الكسور: أ / ب + جـ / د = (أ × د + ب × جـ) / (ب × د).
طرح الكسور: أ / ب – جـ / د = (أ × د – ب × جـ) / (ب × د).
ضرب الكسور: أ / ب × جـ / د = (أ × جـ) / (ب × د).
قسمة الكسور: أ / ب ÷ جـ / د = (أ × د) / (ب × جـ).

قوانين حساب الفائدة

يمكن حساب الفائدة بناءً على نوعها باستخدام القوانين التالية:

قانون الفائدة المركبة: م = ب × (1 + ف / ت) ن × ت،

حيث:

ب: المبلغ الأصلي الذي تم اقتراضه أو استثماره.
م: المبلغ بعد إضافة الفائدة المركبة عليه خلال مدة القرض أو الاستثمار.
ف: نسبة الفائدة المركبة السنوية، ويجب كتابتها كعدد عشري.
ت: عدد مرات تحصيل الفائدة في السنة.
ن: مدة القرض أو الاستثمار بالسنوات.

قانون الفائدة البسيطة: قيمة الفائدة البسيطة = المبلغ المقترض × نسبة الفائدة السنوية × عدد السنوات.

قوانين الإحصاء الأساسية

تستخدم هذه القوانين لتحديد مدى تباعد القيم في عينة معينة عن القيمة الحقيقية أو عن بعضها البعض، وفيما يلي القوانين الأساسية في علم الإحصاء:

الوسط الحسابي = مجموع القيم / عدد القيم.
الانحراف المعياري = √((Σ (القيمة – الوسط الحسابي)²) / (عدد القيم – 1)).
المدى = أعلى قيمة – أقل قيمة.
التباين = مربع الانحراف المعياري.

قوانين التكامل الأساسية

إليك القوانين الأساسية في علم التكامل:

∫ س ن ءس = (س^(ن+1) / (ن+1) + جـ؛ حيث جـ هو عدد ثابت، وءس تعني أن التكامل بدلالة المتغير س.
∫ (1 / س ن) ءس = -1 / ((ن – 1) × س^(ن – 1)) + جـ.
∫(1 / س) ءس = لوأ س + جـ.
∫ هـ س ءس = هـ س + جـ، حيث هـ هو العدد النيبيري.
∫ أس ءس = أس / لوأ + جـ.
∫ جاس ءس = -جتاس + جـ، حيث س تمثل أي زاوية.
∫ جتاس ءس = جاس + جـ، حيث س تمثل أي زاوية.

قوانين الاشتقاق الأساسية

يمثل الاشتقاق العملية العكسية للتكامل، وإليك أهم القوانين المستخدمة في الاشتقاق:

اشتقاق الاقتران الثابت (ص= جـ) يساوي 0؛ أي أن: ءص/ءس (جـ) = 0.
اشتقاق الاقتران الخطي: إذا كان ق(س) = س، فإن قَ(س) = 1، أو بشكل عام، اشتقاق الاقتران الخطي يساوي معامل س.
اشتقاق الاقتران التربيعي مثل: ق(س) = س²، فإن قَ(س) = 2س.
اشتقاق الجذر التربيعي مثل: ق(س) = (س)√، فإن قَ(س) = (1/2) × س^(-1/2).
اشتقاق الأس:
- ق(س) = هـ س، فإن قَ(س) = هـ س.
- ق(س) = أس، فإن قَ(س) = لو هـ أ × أس.
اشتقاق اللوغاريتم:
- ق(س) = لو هـ (س)، فإن قَ(س) = 1/س.
- ق(س) = لوأ (س)، فإن قَ(س) = 1/(س × لو هـ (أ)).
اشتقاق الاقترانات المثلثية (جا، جتا، ظا) حيث س تمثل أي زاوية:
- ق(س) = جاس، فإن قَ(س) = جتاس.
- ق(س) = جتاس، فإن قَ(س) = -جاس.
- ق(س) = ظاس، فإن قَ(س) = قا² س.
اشتقاق الأس:
- ق(س) = س ن، فإن قَ(س) = ن × س^(ن-1).

قوانين المتباينات الأساسية

إليك القوانين الرئيسية المتعلقة بالمتباينات:

إذا كان أ < ب، فإن أ + ج < ب + ج.
إذا كان أ > ب، فإن أ – ج > ب – ج.
إذا كان أ < ب، فإن أ × ج 0).
إذا كان أ > ب، فإن أ × ج > ب × ج (إذا كانت ج > 0).
إذا كان أ < ب، فإن أ / ج 0).
إذا كان أ > ب، فإن أ / ج > ب / ج (إذا كانت ج > 0).

قانون المسافة بين نقطتين

يمكن حساب المسافة بين نقطتين إحداثياتهما (س1، ص1) و(س2، ص2) باستخدام القانون التالي:

المسافة بين نقطتين = √[(س2 – س1)² + (ص2 – ص1)²]

قانون ميل المستقيم

يمثل الميل مدى انحراف الخط المستقيم عن محور السينات الموجب، ويمكن التعبير عنه من خلال القوانين التالية:

الميل = ظاθ؛ حيث θ تمثل الزاوية بين الخط المستقيم ومحور السينات الموجب.
لأي نقطتين إحداثياتهما (س1، ص1) و(س2، ص2) تقعان على الخط المستقيم، فإن الميل = (ص2 – ص1) / (س2 – س1).
إذا كانت المعادلة على الصورة: ص = أس + ب، فإن الميل يساوي معامل س؛ أي: الميل = أ.

قانون نظرية فيثاغورس

يستخدم هذا القانون في المثلثات القائمة الزاوية، وينص على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعي القائمة، أي:

الوتر² = ضلع القائمة الأول² + ضلع القائمة الثاني²

ويشكل أحد ضلعي القائمة قاعدة المثلث، بينما يمثل الضلع الآخر العمود perpendicular عليه.

قانون النسبة المئوية

يمكن حساب النسبة المئوية باستخدام القانون التالي:

النسبة المئوية = (العدد المطلوب حساب النسبة المئوية له ÷ العدد الكلي) × 100%

بالرموز:

ن = (أ / ب) × 100%