أبرز القوانين الأساسية للوغاريتمات

القوانين الأساسية للوغاريتمات

تُعتبر قوانين اللوغاريتمات أساسية عند التعامل مع الأعداد الحقيقية الموجبة، شرط أن يكون أساس اللوغاريتم أكبر من صفر وغير مساوي لواحد. فيما يلي أبرز القوانين المتعلقة باللوغاريتمات:

قانون لوغاريتم الواحد

ينص قانون لوغاريتم الواحد على أن لوغاريتم العدد واحد لأي أساس يكون دائمًا صفرًا. يعود السبب في ذلك إلى أن أي عدد مرفوع للقوة صفر يكون ناتجه هو واحد، وبالتالي:

لوغ (1) = 0، حيث (ف > 1)

قانون الأس الواحد

قانون الأس الواحد ينص على أن لوغاريتم العدد الذي يساوي أساسه يساوي واحدًا، حيث إن أي عدد مرفوع للأس واحد يبقى هو العدد نفسه. أي:

لوغ (ف) = 1، حيث (ف > 1)

قانون القوة

ينص قانون القوة على أن لوغاريتم العدد المرفوع لأس معين، لنفس الأساس، يساوي ناتج ضرب الأس في لوغاريتم العدد بالنسبة لذلك الأساس، أي:

لوغ (ص^س) = س × لوغ (ص)

حيث (س، ص) تعني أعدادًا صحيحة موجبة، و(ف) هو عدد صحيح موجب يختلف عن واحد.

بناءً عليه، فإن لوغاريتم جذر العدد بالنسبة لأساس معين يُعادل ضرب قيمة الجذر في لوغاريتم العدد بالنسبة لذلك الأساس، أي:

لوغ (ص√ن) = لوغ (ص) × (1/ن) = 1/ن × لوغ (ص)

أيضًا، لوغاريتم العدد المرفوع لأس حيث يكون المنزل هو ذاته القيمة، يُنتج قيمة الأس فقط، أي: لوغ (ف^س) = س. يجدر بالذكر أن هذه القاعدة تعتمد على مزج قاعدة القوة مع قاعدة الأس الواحد كما يلي:

لوغ (ف^س) = س × لوغ (ف) = س × 1 = س

قانون الأس اللوغاريتمي

يوضح قانون الأس اللوغاريتمي أن ناتج عدد أول مرفوع لأس لوغاريتم عدد ثانٍ لأساس ما يساوي قيمة العدد الثاني، أي:

س^(لوغ (ف)) = ف

قانون الضرب

يحدد قانون الضرب أن لوغاريتم حاصل ضرب عددين لأساس معين يساوي مجموع لوغاريتم كل عدد بالنسبة لذلك الأساس، أي:

لوغ (ص × س) = لوغ (ص) + لوغ (س)

حيث (س، ص) تمثل أعدادًا صحيحة موجبة، و(ف) هو عدد صحيح موجب يختلف عن واحد.

قانون القسمة

بيّن قانون القسمة أن لوغاريتم حاصل قسمة عددين لأساس معين يساوي الفرق بين لوغاريتم كل عدد لذلك الأساس، أي:

لوغ (ص ÷ س) = لوغ (ص) – لوغ (س)

حيث (س، ص) هي أعداد طبيعية موجبة، و(ف) عدد صحيح موجب لا يساوي واحد.

قانون تغيير الأساس

ينص قانون تغيير الأساس على أن لوغاريتم عدد ما بالنسبة لأساس أول يساوي ناتج قسمة لوغاريتم العدد بالنسبة لأساس ثانٍ على لوغاريتم الأساس الأول بالنسبة للأساس الثاني، أي:

لوغ (س) = لوغ (س) / لوغ (ف)

حيث (س، ف، ن) هي أعداد صحيحة موجبة، و(ف، ن) لا تساوي واحد.

قانون التبادل

يرسم قانون التبادل أن لوغاريتم عدد لأساس أول يعادل ناتج قسمة الواحد على لوغاريتم هذا الأساس بالنسبة لأساس ثاني، بحيث يكون الأساس الثاني هو العدد الأصلي، أي:

لوغ (س) = 1 / لوغ (ف)

حيث (س، ف) هي أعداد صحيحة موجبة لا تساوي واحد.