مختلف أنواع المعادلات الخطية

أنواع المعادلات الخطية

توجد ثلاثة أنواع رئيسية من المعادلات الخطية، وهي كما يلي:

المعادلة بالصورة القياسية

المعادلة بالصورة القياسية (بالإنجليزية: Standard Form) تتخذ الشكل التالي:

أ س + ب ص = ج؛ حيث تمثل أ، ب، ج عادةً أعدادًا صحيحة.

لإيجاد الرسم البياني ونقاط التقاطع للمعادلة الخطية بالتعبير القياسي:

عندما تكون المعادلة الخطية بالصورة القياسية، يمكننا تحديد نقاط التقاطع مع المحاور الأفقية والعمودية، مما يسهل رسم منحنى الاقتران.

المثال التالي يوضح هذه العملية:

مثال 1: لنفترض المعادلة الخطية التالية: 2س + 3ص = 12

1. لنفترض أن س = 0.
2. ستحصل على (3ص = 12).
3. وبالتالي؛ ص = 12/3.
4. يصبح ص = 4.
5. لذا، فإن نقطة التقاطع العمودية هي (0, 4).
6. بطريقة مماثلة، لنفترض أن ص = 0.
7. ستحصل على 2س = 12.
8. وبالتالي س = 12/2.
9. يصبح س = 6.
10. لذا، فإن نقطة التقاطع الأفقية هي (6, 0).
11. لرسم منحنى الاقتران، نقوم برسم خط مستقيم يصل بين النقطتين (6, 0) و (0, 4).

مثال 2: ما هي نقطتا التقاطع الأفقية والعمودية للمعادلة 5س – 2ص = 10؟

باستخدام نفس الخطوات السابقة:

1. لنفترض أن ص = 0.
2. ستحصل على 5س = 10.
3. وبالتالي س = 2.
4. لنفترض أن س = 0.
5. ستحصل على 2ص = 10.
6. وبالتالي ص = 5.
7. وبهذا نجد:
   1. نقطة التقاطع الأفقية: (0, 2).
   2. نقطة التقاطع العمودية: (0, 5).

تحويل المعادلة إلى الصيغة القياسية:

في بعض الأحيان، عند التعامل مع المعادلات الخطية، قد تحتاج إلى تحويل المعادلة إلى شكلها القياسي، كما هو موضح في المثال التالي:

مثال: كيف يمكن تحويل المعادلة ص = 3/8س + 5 إلى الشكل القياسي؟

1. اجعل جميع المتغيرات في جانب واحد: -3/8س + ص = 5.
2. اضرب جميع مكونات المعادلة في 8: -3س + 8ص = 40.
3. وبذلك نحصل على الصيغة القياسية حيث أ = -3 و ب = 8 و ج = 40.

معادلة النقطة والميل

معادلة النقطة والميل (بالإنجليزية: Point-Slope Form) هي معادلة بمتغيرين تتخذ الشكل:

ص – ص1 = م (س – س1)

حيث م هو ميل الخط المستقيم، و (س1، ص1) هي نقطة تقع على الخط.

لإيجاد معادلة نقطة وميل من عناصرها:

لنفترض أننا نريد إيجاد معادلة خط مستقيم يمر بالنقطة (1, 5) ويميل ميله -2.

1. من المعطيات، نستنتج أن: م = -2، س1 = 1، ص1 = 5.
2. وبالتالي، يمكننا كتابة معادلة الخط المستقيم بالشكل التالي: ص – 5 = -2 (س – 1).

تحديد معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين:

لإيجاد معادلة خط يمر بنقطتين، يجب أولاً معرفة قانون الميل، والذي هو كما يلي:

م = (ص – ص1) / (س – س1)

حيث م يمثل الميل، (س، ص) هي النقطة الثانية، و(س1، ص1) هي النقطة الأولى.

مثال: جد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة (1, 4) والنقطة (6, 19).

1. بتطبيق قانون الميل: م = (19 – 4) / (6 – 1)
   1. م = 15 / 5.
   2. م = 3.

1. بعد حساب الميل، نستخدم إحدى النقطتين للعثور على المعادلة، لنأخذ النقطة (1, 4).
2. لذا فإن معادلة الخط المستقيم هي: ص – 4 = 3 (س – 1).

معادلة الميل والمقطع

معادلة الميل والمقطع (بالإنجليزية: Slope-Intercept Form) هي معادلة خطية بمتغيرين، تكون صياغتها على النحو التالي:

ص = م س + ب

حيث م هو الميل، و ب هو نقطة التقاطع العمودية.

لإيجاد معادلة الميل والمقطع من عناصرها:

مثال 1: لنفترض أننا نريد إيجاد معادلة الخط المستقيم الذي ميله -1، ونقطة تقاطعه العمودية (0, 5).

1. أولاً، يجب تحديد قيمة كل عنصر لكتابة المعادلة:
   1. م = -1.
   2. ب = 5.

1. وبالتالي، فإن شكل المعادلة سيكون: ص = -1س + 5.

مثال 2: فلنفترض أن لدينا خطًا مستقيمًا يمر بالنقطتين (0, -4) و(3, -1) كيف يمكننا إيجاد معادلته؟

1. أولاً، يمكننا ملاحظة أن النقطة (0, -4) هي نقطة التقاطع العمودية.
   1. وبالتالي، فإن ب = -4.

1. بعد ذلك، يجب أن نجد ميل الخط المستقيم:
   1. م = (-1 – (-4)) / (3 – 0).
   2. م = 3 / 3.
   3. م = 1.

1. لذا، فإن معادلة الخط المستقيم هي: ص = 1س – 4.

ما هي المعادلة الخطية؟

المعادلة الخطية هي معادلة حيث تكون أعلى درجة متغير فيها دائمًا 1، ولا يكون أي من المتغيرات مرفوعًا لقوة أكبر من 1. ومن هذا المنطلق، تُعرف المعادلة الخطية أيضًا بالمعادلة من الدرجة الأولى، ورسم منحناها يكون دائمًا على شكل خط مستقيم؛ وهذا هو السبب وراء تسميتها “خطية”.

يمكن أن تكون المعادلة الخطية معادلة بمتغير واحد أو أكثر، بشرط أن تكون جميع المتغيرات مرفوعة للأس 1.