أنواع العلاقات الرياضية

أنواع الاقترانات

الاقتران يُعرف بالعلاقة التي تربط كل عنصر في مجال معين مع عنصر واحد فقط في المجال الآخر. وبالتالي، يمكن اعتبار كل اقتران بمثابة علاقة، لكن ليس كل علاقة تعد اقتراناً. تنقسم الاقترانات إلى عدة أنواع، نذكر منها ما يلي:

الاقتران الخطي

الاقتران الخطي هو عبارة عن اقتران يحتوي على متغير واحد أو اثنين فقط، حيث يكون كل منهما مرفوعاً للأس واحد. تُعبر صيغته العامة عن العلاقة بالشكل: ق(س) = أس + ب، حيث تكون أ، ب أعداد حقيقية وأي منها ليست صفرًا. يتم تمثيل هذا الاقتران بيانيًا كخط مستقيم، ويتسم بالزيادة إذا كانت قيمة الثابت (أ) > 0، أو بالانخفاض إذا كانت قيمة الثابت (أ) < 0.

الاقتران التربيعي

يعتبر الاقتران التربيعي نوعًا من الاقترانات كثيرة الحدود من الدرجة الثانية، وصيغته العامة تُعبر عن العلاقة بالشكل: ق(س) = أس² + ب س + ج، حيث أ، ب، ج أعداد حقيقية وأي منها ليست صفرًا. يتميز المتغير (س) بأنه مرفوع للأس 2، وتمتلك المعادلة التربيعية حلين. يُمثل هذا الاقتران بيانيًا كمنحنى يشبه حذوة الحصان، حيث يكون المنحنى مفتوحًا لأعلى إذا كان معامل س² (أ) > 0، ومفتوحًا لأسفل إذا كان معامل س² (أ) < 0.

يتقاطع منحنى الاقتران التربيعي مع محور السينات في نقاط تجعل الاقتران يساوي صفرًا، وتُسمى هذه النقاط بـ “أصفار الاقتران التربيعي”. يُستخدم الاقتران التربيعي أيضًا في التطبيقات العملية، مثل تصميم الأنفاق لحساب الارتفاع المسموح به.

الاقتران التكعيبي

يمثل الاقتران التكعيبي نوعًا من الاقترانات كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة، وصيغته العامة هي: ق(س) = أس³ + ب س² + ج س + د، حيث أ، ب، ج، د هي أعداد حقيقية وأي منها ليست صفرًا. يمتد مجال ومدى هذا الاقتران ليشمل جميع الأعداد الحقيقية.

الاقتران المتشعب

الاقتران المتشعب يعرف بأنه الذي يتضمن أكثر من قاعدة، حيث يختلف كل منها في المجال المحدد لها، ويتنوع المدى بناءً على شروط معينة. كمثال، ق(س) = { س² + 1 ، س >= 1 / س – 5 ، س < 1 }.

الاقتران العكسي

الاقتران العكسي هو ذلك الذي يتم فيه تبديل المجال والمدى، بحيث يصبح المجال هو المدى والعكس صحيح. يمكن التعبير عن الاقتران العكسي بالصيغة ق⁻¹، على سبيل المثال، إذا كان ق = { (1،1)، (2،3)، (5،3) }، فإن ق⁻¹ = { (1،1)، (3،2)، (3،5) }.

الاقتران المحايد

الاقتران المحايد هو شكل من الاقترانات حيث يكون كل عنصر في المجال له نفس القيمة في المدى، ويُعبر عنه بالشكل ق(س) = س.

اقتران أكبر عدد صحيح

يُعبر عن اقتران أكبر عدد صحيح بالصيغة: ق(س) = [ س]، ويُعرف بأنه الاقتران الذي يربط قيم س بأكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي س. يُطلق عليه أيضاً “الاقتران الدرجي”، حيث يشبه منحناه شكل الدرج، ويتم استخدام الرمز [ ] لتمثيله.

اقتران القيمة المطلقة

اقتران القيمة المطلقة يحول قيمة س دائماً إلى قيمة موجبة، وصيغته العامة هي ق(س) = | س |، حيث يُرمز للقيمة المطلقة بالرمز | |، مع ملاحظة أن |-أ| = أ و |أ| = أ. يمتد مجال اقتران القيمة المطلقة ليشمل جميع الأعداد الحقيقية، بينما يمتد مداه ليشمل جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي صفر.

الاقتران الأُسي

يُمثل الاقتران الأُسي بالصيغة التالية: ق(س) = أس، حيث أ ≠ 1 و أ > 0. يمتلك الاقتران الأُسي تطبيقات متعددة في الحياة العملية، مثل حساب عدد السكان في فترة زمنية معينة أو مسائل تتعلق بتضاعف الكمية في فترات معينة.

الاقتران اللوغاريتمي

يشتق الاقتران اللوغاريتمي من الاقتران الأُسي، حيث يُعتبر بمثابة عكس الاقتران الأُسي. تُكتب صيغة هذا الاقتران بالشكل: ق(س) = لو هس، حيث إن ه هو العدد النيبيري، أو بالصيغ الأخرى كـ ق(س) = لو 10 س. يمتد مجال هذا الاقتران ليشمل جميع الأعداد الحقيقية، ومداه يشمل جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من صفر.

الاقتران المركب

ينتج الاقتران المركب من تركيب اقترانين، ويُعبر عنه بالصيغة التالية: (ق هـ هـ)(س)، ويتم قراءته كـ ق بعد هـ بالنسبة إلى س.

الاقترانات المثلثية

تشمل الاقترانات المثلثية تلك التي تحتوي على جيب (جا) وجيب التمام (جتا) والظل (ظا) والظتا (ظتا) والقاطع (قا) والقتا (قتا). كمثال، ق(س) = 3 جتاس.

الاقتران الثابت

الاقتران الثابت يتكون مداه من عنصر واحد فقط، ويُكتب بالشكل التالي: ق(س) = ج، حيث ج هو عدد ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية، ومجاله هو جميع الأعداد الحقيقية ومداه هو ج فقط.

يتم تمثيله بيانيًا كخط مستقيم أفقي يُماثل محور السينات، ويكون بعيدًا عنه بمقدار الثابت ج. إذا كانت قيمة ج موجبة، يقع الخط أعلى محور السينات، بينما إذا كانت قيمة ج سالبة، فإن الخط يقع أسفل محور السينات.